Критерий Коши, аддитивность по множеству, линейность несобственных интегралов

Если: - $f(x)$ и $g(x)$ интегрируемы на $[a, b'] ~~\forall{b' \in [a, b)}$ - $\int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx$ и $\int\limits_{a}^{b} g(x) \, dx$ - сходятся То: $$\forall{\alpha, \beta \in \mathbb{R}}\mathpunct{:}~~ \int_{a}^{b} (\alpha f(x) + \beta g(x)) \, dx$$ сходится и: $$\int_{a}^{b} (\alpha f(x) + \beta g(x)) \, dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x) \, dx + \beta \int_{a}^{b} g(x) \, dx $$

Запишем линейность для определённого интеграла: $$\int_{a}^{b'} (\alpha f(x) + \beta g(x)) \, dx = \alpha \int_{a}^{b'} f(x) \, dx + \beta \int_{a}^{b'} g(x) \, dx $$ Переходя к пределу $b' \to b-0$, получим, что и требовалось доказать. $\square$

Если $c \in [a, b]$ и $\int\limits_{c}^{b} f(x) \, dx$ - сходится, то $\int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx$ тоже сходится и: $$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{c} f(x) \, dx + \int_{c}^{b} f(x) \, dx$$

Аналогично д-ву линейности: запишем аддитивность для определённых и перейдём к пределу.

Несобственный интеграл $\int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx$ сходится $\iff$ $$\iff \forall{\varepsilon > 0}~~ \exists{\delta(\varepsilon)}~~ \forall{b', b'' \in [b - \delta, b)}\mathpunct{:}~~ \left| \int_{b'}^{b''} f(x) \, dx \right| < \varepsilon$$

Рассмотрим функцию $F(x) = \int\limits_{a}^{x} f(t) \, dt$ (это не первообразная) $\int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx$ сходится $\iff$ $\exists{\lim_{x \to b-0} F(x)}$. По критерию Коши для пределов: $$\iff \forall{\varepsilon > 0}~~ \exists{\delta(\varepsilon)}~~ \forall{b', b'' \in (b-\delta, b)}\mathpunct{:}~~ |F(b'') - F(b')| < \varepsilon$$ Значит по аддитивности: $$\left| \int_{b'}^{b''} f(x) \, dx \right| < \varepsilon$$ $\square$